Мама — пианистка, папа — трубач, бабушка и дедушка живут в Воткинске, на родине Чайковского. Квартира — за стенкой от репетиционного зала музыкального училища. Артёму Абашеву было предопределено стать музыкантом, но путь к дирижерскому пульту занял много лет. Музыкальная среда была настолько естественной, что путь в профессию оказался скорее продолжением жизни, чем выбором.
Артём получил серьезную базу как пианист: окончил отделение специального фортепиано Казанской государственной консерватории им. Н. Г. Жиганова, затем аспирантуру (класс Эльфии Бурнашевой). В годы обучения занимался не только исполнительством, но и композицией, что во многом сформировало его музыкальное мышление и позднее привело к интересу к дирижированию.
Как пианист выступал с Новосибирским филармоническим оркестром, Государственным симфоническим оркестром Республики Татарстан, Симфоническим оркестром Гроссето (Италия), Большим симфоническим оркестром им. П. И. Чайковского и другими коллективами.
Как дирижер дебютировал с Государственным симфоническим оркестром Республики Татарстан, в дальнейшем возглавлял Юниор-оркестр Казанской консерватории, сотрудничал с камерными ансамблями «Новая музыка» (Казань) и Kyklos Ensemble (Афины).
С сезона 2013/14 — дирижер Пермского театра оперы и балета, с 2019 по 2022 — главный дирижер театра и художественный руководитель Камерного оркестра Пермской оперы. С сезона 2017/18 — приглашенный дирижер театра «Урал Опера Балет» (Екатеринбург).
В оперно-балетном репертуаре — около пятидесяти спектаклей, от классики до современной музыки: «Сказки Гофмана», «Дон Жуан», «Богема», «Иоланта», «Фауст», «Щелкунчик», «Лебединое озеро», «Жар-птица», «Баядерка», а также сочинения Шостаковича, Прокофьева, Стравинского, Пуленка и Вайнберга.
С 2022 года — приглашенный дирижер Большого театра России, где работает над ключевыми оперными и балетными постановками.
Сотрудничал с оркестрами России и Европы, выступал на фестивалях «Мариинский», Context. Diana Vishneva и Les Étés de la Danse (Париж). Номинант премии «Золотая маска» за ряд дирижерских работ в Пермском театре оперы и балета.